중간고사 정리노트

과제로 나왔던 문제들 다시 풀어보면서 애매하거나 기억이 안나는 개념들을 다시 정리해보았습니다.

행렬

연립선형방정식 Ax=b 의 해를 구하기

방법

1. 가우스-조르단 소거법
2. Cramer’s Rule
3. 역행렬 구하기
4. LU분해

해 존재성

1. 자유변수가 존재하면 해가 무수히 많음 (non-trivial solution)
2. 한 행이 전체가 0이면 해가 없음
3. 행사다리꼴로 떨어지면 유일한 해 존재

Tip. 유일한 해가 존재하는 문자로 된 값을 찾을때 R.E.F로 만들면 된다. 그 과정에서 적극적으로 문자로 나누고 곱하자.

역행렬 구하기

1. adjoint + determinant

   $C_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|$

   $C_A=\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&...&C_{2n}\\C_{21}&C_{22}&...&C_{2n}\\...&...&&...\\C_{m1}&C_{m2}&...&C_{mn}\end{bmatrix}$

   $adj(A)= C_A^T$

   $A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)$

2. 가우스-조르단 소거법

역행렬 존재 여부

$det(A)=0$이면 역행렬 존재 X, singular

Properties

1. $(AB)^T=B^TA^T$
2. $(I_n)^T=I_n$
3. $AA^{-1}=I_{n}$ (항등원)

LU분해

행렬을 LTM/UTM으로 분해해 연립선형방정식을 푸는 방법.

행렬에 기본행렬 n개를 곱해 (기본행연산을 n번 해) LTM을 만든다.

그 과정에서 사용된 기본행렬들의 역행렬 n개를 행렬곱하면 UTM이 나온다.

$A=LU, Ax=b => LUx=b, Ly=b, Ux=y$

$E_k...E_2E_1A=U (기본행연산 k번)$

$A=E_1^{-1}E_2^{-1}...E_k^{-1}U=LU$

그 다음 $Ly=b$를 이용해 $y$를 구하고, $Ux=y$를 이용해 $x$를 구하면 된다.

주대각선 요소의 합, Tr

$Tr(A)=\sum^n_i(a_{ii})$

대각행렬/삼각행렬에서의 행렬식

$|A|=a_{11}a_{22}...a_{nn}$

기본행연산을 n번 해도 행렬식은 같다 (행동치)

Cofactor Expansion(여인수 확장)을 이용한 행렬식 구하기

하나의 행/열을 선택하고 그 행/열을 대상으로 원소 하나씩 여인수를 구한다.

$C_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|$

$\sum^n_{k=1}(C_{kj}) \space or\space \sum^n_{k=1}(C_{ik})\space(i,j:임의의\space 행/렬)$

Cramer’s Rule

$|A| \not= 0$ 이면, $x_1=\frac{|A_{x_1}|}{A}$$x_2=\frac{|A_{x_2}|}{A}$ …

$A_{x_n}$은 행렬 $A$에서 n번째 열을 열벡터 $b$ 로 치환한 행렬이다.

도형 넓이/부피

세 점으로 이루어진 삼각형의 넓이: $A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}$

3차원 공간 상의 네 점으로 이루어진 사면체의 부피: $V=\frac{1}{6}\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\\\end{vmatrix}$

한 직선 상의 점 (공선점) 판별

$z$는 n번째 차원

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&...&z_1&1\\x_2&y_2&...&z_2&1\\...& ...&& ...& ...\\x_n&y_n&...&z_n&1\\\end{vmatrix}=0$

평면/직선/공간의 방정식

$\begin{vmatrix}x&y&...&z&1\\x_1&y_1&...&z_1&1\\x_2&y_2&...&z_2&1\\...& ...&& ...& ...\\x_n&y_n&...&z_n&1\\\end{vmatrix}=0$